極限の関数の性質

極限の問題を解くには四則演算の理解が必要となる。
通常の実数計算とほぼ変わりなく、当たり前のことを言っているようだが、理解のためここでまとめておきます。

極限の関数の性質

[math]\lim_{x \rightarrow a} = \alpha[/math] ,[math]\lim_{x \rightarrow a} g(x)= \beta[/math] のとき
(ⅰ)[math]\lim_{x \rightarrow a} cf(x) = c \alpha[/math]
(ⅱ)[math]\lim_{x \rightarrow a} \big\{f(x) \pm g(x)\big\} = \alpha + \beta [/math]
(ⅲ)[math]\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x) = \alpha \beta [/math]
(ⅳ)[math]\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\alpha }{\beta }[/math]

ただしc:実数定数とする。

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計算例

実数との積(ⅰ)[math]\lim_{x \rightarrow a} cf(x) = c \alpha[/math]

[math]\lim_{x \rightarrow 0} 3 \dfrac{\sin x}{x} [/math]
[math]=3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}[/math]
[math]=3 \cdot 1[/math]

[math]=3 [/math]

和(ⅱ)[math]\lim_{x \rightarrow a} \big\{f(x) \pm g(x)\big\} = \alpha + \beta [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \big(x – 4\big) + \lim_{x \rightarrow 0} \cos x[/math]
[math]=\lim_{x \rightarrow 0} \big(x – 4 + \cos x\big)[/math]
[math]=-4+1[/math]

[math]=-3[/math]

積(ⅲ)[math]\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x) = \alpha \beta [/math]

[math] \lim_{x \rightarrow 0}x\sin x[/math]
[math]= \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \sin x[/math]
[math]=0 \cdot 0[/math]

[math]=0[/math]

商(ⅳ)[math]\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\alpha }{\beta }[/math]

[math] \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\cos x} [/math]
[math]= \dfrac{ \lim_{x \rightarrow 0}x }{ \lim_{x \rightarrow 0}\cos x } [/math]
[math]= \dfrac{0}{1}[/math]

[math]=0 [/math]
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