実数の分類(有理数、無理数とは何か)

正数、負数といえば+の値、-の値だとピンとくると思いますが、実数、有理数、無理数といったらどうでしょう?
普段使う数字は実数を基準として細かく分類されます。
数学を学ぶ上で理解していないと定義の理解等でのつまづきポイントとなるので、例と共に下記に簡単にまとめます。

実数とは1.実数の性質
2.実数の分類

 

1.実数の性質

[math]x>0 [/math]、 [math]x=0 [/math]、 [math]x<0 [/math]のいずれかの値をもつ[math]x[/math]を実数という。
またこのとき、 [math]x^{2} > 0[/math]、 [math]x^{2}=0 [/math]、 [math]x^{2} > 0 [/math]となるので実数は[math]x^{2} \geq 0[/math]の性質を持つ。

実数を[math]x[/math]とするとき

[math]x^{2} \geq 0[/math] 【実数の性質】

 

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2.実数の分類

実数を難しく言うと上記1.のことを言いますが、実数は更に無理数、有理数に分類されます。
もちろん、有理数は更に分類され、整数、分数……。
と、このまま話を進めると、ただややこしいだけなので、簡単に一覧表にすると下記の通りになります。

 

≪実数の分類≫
【実数】【有理数】
[math]\frac{m}{n}[/math]の形に表せる。
【整数】【正の整数】(自然数)
例)1,2,3,……
【ゼロ】0
【負の整数】
例)-1,-2,-3,……
【分数】
例)
・[math]\frac{1}{8} =[/math]0.125,[math]- \frac{3}{4}[/math]等(有限小数)
・[math]\frac{1}{6}=0.166[/math]等(循環小数)
【無理数】
[math]\frac{m}{n}[/math]の形に表せない。
例)円周率[math]\pi [/math],ネイピア数e, [math]\sqrt{2} , -\sqrt{3} [/math]

  

※循環小数と無理数について

[math]\frac{1}{6}[/math]は0.16666666……と無限に6が続き分数で表せる(循環小数)。
[math]\sqrt{5} [/math]は2.236067……異なる値(規則性のない値)が無限に続き分数で表すことができない(無理数)。

循環小数と無理数の違いは小数点以下以降において無限に同じ数字が繰り返されるか否かであるが、循環小数から分数へはどのように変換すればいいのだろうか。
という疑問が浮かぶ人もいると思いますので、簡単に下にまとめてみました。

 

問)0.16666666……→[math]\frac{1}{6}[/math]を考える。

答)

[math]0.16666666……=x[/math]とおく。

両辺を10倍にして、10倍にする前の式との差分をとる。

[math]10x=1.6666666……[/math]

[math]-x=0.16666666……[/math]

[math]9x=1.5[/math]

[math]x=\frac{1.5}{9}[/math]

[math]=\frac{15}{90}[/math]

 [math]=\frac{1}{6}[/math] 

 

この結果から[math]\sqrt{5} [/math]のような規則性のない値は分数では表せないことも分かります。

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