指数・対数の極限公式

指数・対数の極限公式[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x} – 1}{x}=1[/math]   ・・・・・(ⅰ)
[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\log (1+x)}{x}=1[/math]    ・・・・・(ⅱ)
[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+ x ) ^{ \frac{1}{x} } =e[/math]    ・・・・・(ⅲ)

(ⅰ)から(ⅱ)、(ⅱ)から(ⅲ)の証明ができるので以下に示す。

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(ⅰ)の証明

[math]f(x)= e^{x}[/math] とおくと

導関数の定義より

[math]f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}[/math]

[math]f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x+h}- e^{x} }{h}[/math]

[math]\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x}( e^{h} -1) }{h}[/math]

ここで[math]x=0[/math]とすると

[math]f'(0)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{0}( e^{h} -1) }{h}[/math]

[math]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{h}-1 }{h}[/math]  ・・・・・・①

また

[math]f'(x)=( e^{x} )’=e^{x}[/math] より

[math]f'(0)=e^{0}=1[/math]  ・・・・・・②

よって①②から

[math]\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{h}-1 }{h}=1[/math]

[math]h[/math]を[math]x[/math]に置換して

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x}-1 }{x}=1[/math] ・・・・・(ⅰ)

(ⅱ)の証明

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x}-1 }{x}[/math] において

[math]e^{x} -1=t[/math] とおくと、両辺の対数をとって

[math]\log e^{x} =\log(1+t)[/math]

[math]x =\log(1+t)[/math]

[math]x \rightarrow 0 [/math]とき [math]t \rightarrow 0[/math] なので

[math]=\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{t}{\log(1+t)}[/math]

指数・対数の極限公式(ⅰ)より

[math]= \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{1}{ \dfrac{\log(1+t)}{t} }=1[/math]

よって

[math]\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\log(1+t)}{t} =1[/math]

[math]t[/math]を[math]x[/math]に置換して

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\log(1+x)}{x} =1[/math] ・・・・・(ⅱ)

(ⅲ)の証明

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\log(1+x)}{x}[/math]

[math]=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} \log(1+x)[/math]

指数・対数の極限公式(ⅱ)より

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \log (1+x)^{ \frac{1}{x} } =1[/math]

ここで[math]\log e=1[/math]なので

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \log (1+x)^{ \frac{1}{x} }=\log e[/math]

両辺の指数をとって

[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{ \frac{1}{x} } =e[/math] ・・・・・(ⅲ)

また [math]\dfrac{1}{x}=t[/math] とおくと

[math]x=\frac{1}{t}[/math]

[math]x \rightarrow 0[/math]のとき[math]x \rightarrow \pm \infty[/math]となるので

[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{ \frac{1}{x} }[/math]

指数・対数の極限公式(ⅲ)より

[math]= \lim_{t \rightarrow \pm \infty } (1+ \frac{1}{t} )^{t} =e[/math]

[math]t[/math]を[math]x[/math]に変え(ここで[math]x[/math]は[math]x= \frac{1}{t}[/math] とは関係ない)

[math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty } (1+ \dfrac{1}{x} )^{x} =e[/math]

の公式も証明できる。

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