[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\log (1+x)}{x}=1[/math] ・・・・・(ⅱ)
[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+ x ) ^{ \frac{1}{x} } =e[/math] ・・・・・(ⅲ)
(ⅰ)から(ⅱ)、(ⅱ)から(ⅲ)の証明ができるので以下に示す。
(ⅰ)の証明
[math]f(x)= e^{x}[/math] とおくと
導関数の定義より
[math]\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{x}( e^{h} -1) }{h}[/math]
ここで[math]x=0[/math]とすると
また
よって①②から
[math]\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{ e^{h}-1 }{h}=1[/math]
[math]h[/math]を[math]x[/math]に置換して
(ⅱ)の証明
[math]\log e^{x} =\log(1+t)[/math]
[math]x =\log(1+t)[/math]
[math]x \rightarrow 0 [/math]とき [math]t \rightarrow 0[/math] なので
[math]=\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{t}{\log(1+t)}[/math]
[math]= \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{1}{ \dfrac{\log(1+t)}{t} }=1[/math]
よって
(ⅲ)の証明
[math]\lim_{x \rightarrow 0} \log (1+x)^{ \frac{1}{x} } =1[/math]
ここで[math]\log e=1[/math]なので
[math]\lim_{x \rightarrow 0} \log (1+x)^{ \frac{1}{x} }=\log e[/math]
両辺の指数をとって
また [math]\dfrac{1}{x}=t[/math] とおくと
[math]x=\frac{1}{t}[/math]
[math]x \rightarrow 0[/math]のとき[math]x \rightarrow \pm \infty[/math]となるので
[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{ \frac{1}{x} }[/math]
[math]= \lim_{t \rightarrow \pm \infty } (1+ \frac{1}{t} )^{t} =e[/math]
[math]t[/math]を[math]x[/math]に変え(ここで[math]x[/math]は[math]x= \frac{1}{t}[/math] とは関係ない)
の公式も証明できる。
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