導関数の定義

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もくじ1.導関数の定義
2.導関数とは
3.導関数と微分係数の違い
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1.導関数の定義

導関数の定義は微分係数の式と似ていて、以下の通りで表せる。

導関数の定義

[math]f’ \big( x \big) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f \big(x + h\big) – f \big(x\big) }{h} [/math]

2.導関数とは

導関数についてに説明するために、例として[math]関数f \big(x\big) = x^{2} – 2x + 3[/math]について考える。

[math]f \big(a + h\big) – f \big(a\big) [/math]
[math]= \big\{ \big(a + h\big) ^2 – 2 \big(a+h\big) + 3 \big\} – \big(a^2 – 2a + 3\big) [/math]
[math]=a^2 + 2ah + h^2 – 2a – 2h + 3 – a^2 +2a – 3[/math]
[math]=2ah + h^2 – 2h[/math]
[math]=h^2 + 2 \big(a – 1\big) h[/math]

[math]\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f \big(a + h\big) – f \big(a\big) }{h}[/math]
[math]= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h^2 + 2 \big(a – 1\big)h }{h} [/math]
[math]=\lim_{h \rightarrow 0} \big\{h + 2 \big(a – 1\big) \big\}[/math]
[math]=2 \big(a-1\big) [/math]

よって、[math]f \big(x\big) = x^{2} – 2x + 3[/math]のとき、微分係数[math] f’ \big(a\big) =2 \big(a – 1\big) [/math]となる。

[math]a=-2[/math]のとき [math] f’ \big(-2\big) =-6[/math]
[math]a=-1[/math]のとき [math] f’ \big(-1\big) =-4[/math]
[math]a=0[/math]のとき [math] f’ \big(0\big) =-2[/math]
[math]a=1[/math]のとき [math] f’ \big(1\big) =0[/math]
[math]a=2[/math]のとき [math] f’ \big(2\big) =2[/math]
[math]\clubsuit [/math]

以上より、aの値に対してただ一つの [math]f’ \big(a\big)[/math] の値が定まるので[math]f’ \big(a\big)[/math]は[math]a[/math]についての関数といえる。
[math]a[/math]を[math]x[/math]に置換し、関数を書き直すと

[math]f’ \big( x \big) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f \big(x + h\big) – f \big(x\big) }{h} [/math]   【導関数の定義】

が導かれる。

3.導関数と微分係数の違い

上の説明から分かる通り、微分係数[math] f’ \big(a\big) [/math]は

[math]f’ \big( a \big) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f \big(a + h\big) – f \big(a\big) }{h} [/math]

で表され、導関数[math] f’ \big(x\big) [/math]は

[math]f’ \big( x \big) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f \big(x + h\big) – f \big(x\big) }{h} [/math]

で表される。

[math] f’ \big(a\big)[/math] 、[math] f’ \big(x\big) [/math]を比較してみると、違いは値[math]a[/math]、[math]x[/math]のみである。

先で記した導関数の定義の導き方から分かる通り、微分係数[math] f’ \big(a\big) [/math]の[math]a[/math]を[math]x[/math]に置換したものが導関数として表されるので、値[math]a[/math]、[math]x[/math]のとらえ方の違いによるものと考えればよい。

値[math]a[/math]は先の説明での導関数の導き方の[math]\clubsuit [/math]から分かる通り、[math]a[/math]はただの値(個々)であり、[math]x[/math]はただの値(個々)である[math]a[/math]が変動する値、変数ととらえると分かりやすい。
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