絶対値

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絶対値という概念は実数・複素数共に存在し、定義・性質等ほぼ同じになります。

しかし、実数・複素数の違いを考えると大小の比較は複素数ではできません。

今回、実数・複素数共にまとめて絶対値の定義・性質を述べていますが、複素数において大小の比較はできないので、大小の比較のみ成り立たないことに注意してお読みください。

また、以下で記す【論理式】(【複素数の論理式】は複素数)は実数に関してのみの表記になります。

任意の実数[math]R[/math]に対して[math]Max \big\{x,-x\big\} [/math]を[math]|x|[/math]と書き、[math]x[/math]を絶対値という。

絶対値の定義任意の実数[math]x[/math]に対して
❶[math]x \geq 0のとき  |x| =x[/math]  [math]【論理式: \forall x \in R, | x| = x 】[/math]
❷[math]x \leq 0のとき  | x|=-x[/math]    【[math]論理式: \forall x \in R, | x| = -x 】[/math]
[math](ただし x=0のとき  |x|=0 )[/math]となる

また、複素数についても上の定義、共に以下に述べる絶対値の性質は成り立ち、任意の実数[math]a、b[/math]に対する複素数[math]x=a+bi[/math]を考えるなら[math]Max \big\{x, \bar{x} \big\}[/math]を[math]|x|[/math]と書き、[math]x[/math]の絶対値という。

複素数の絶対値[math] | x | = | a + bi | = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } [/math][math] 【複素数の論理式: \forall a,\forall b \in R, | x | = | a + bi | = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } 】[/math]

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絶対値の性質

以下に記す絶対値の性質について、実数・複素数共に成り立つ(注:複素数において大小の比較はできないので、大小の比較のみ成り立たない)ので、実数としてみる場合は任意の実数[math]x[/math]として、複素数としてみる場合は任意の実数[math]a、b[/math]に対する複素数[math]x=a+bi[/math]としてみてほしい。
また、[math]\bar{x}[/math]は複素数の定義より[math]x=a-bi[/math]とする。

比較(実数のみ成立)

[math]| x | \geq x[/math] [math]【論理式:\forall x \in R, | x | \geq x 】[/math]
[math]| x | \geq -x [/math] [math]【論理式:\forall x \in R, | x | \geq -x】[/math]

【ー例ー】

[math]x=2のとき[/math]
[math]| 2 |= 2 \geq \pm 2[/math]

[math]また、x=-2のとき[/math]
[math]|-2 |=2 \geq \pm 2 [/math]

四則演算(実数・複素数共に成立)

[math]| x + y | \leq |x | + | y| [/math] [math]【論理式:\forall x,\forall y \in R, | x + y | \leq |x | + | y| 】[/math]

【ー例ー】

[math]x=2,y=-3のとき[/math]
[math]| 2-3 |= 1 \leq | 2 | + | – 3 | =5[/math]

[math]また、x=1+2i,y=2-3iのとき[/math]
[math] | 1+2i+2-3i | = | 3-i |= \sqrt{ 3^{2} + \big(-1\big) ^{2} } = \sqrt{10} [/math]
[math] \leq |1+2i |+ | 2-3i | = \sqrt{ 1^{2}+ 2^{2} } + \sqrt{ 2^{2}+ \big(-3\big) ^{2} }= \sqrt{5}+ \sqrt{13} = \sqrt{18} [/math]



[math]| x-y| \geq |x | – | y|[/math] [math]【論理式:\forall x,\forall y \in R, | x-y| \geq |x | – | y|】[/math]

【ー例ー】

[math] x=2,y=-3のとき[/math]
[math]| 2- \big(-3\big) | = | 5|=5 \geq | 2 |- |-3 | =2-3=-1[/math]

[math]また、x=1+2i,y=2-3iのとき[/math]
[math] |1+2i- \big(2-3i\big) |[/math] =[math] |-1+5i |[/math] = [math]\sqrt{ \big(-1\big) ^{2}+ 5^{2} }[/math] = [math]\sqrt{26}[/math]
[math]\geq | 1+2i |- | 2-3i |[/math]=[math] \sqrt{ 1^{2}+ 2^{2} }- \sqrt{ 2^{2}+ \big(-3\big) ^{2} }[/math] = [math]\sqrt{5}- \sqrt{13} [/math]



[math] |xy | = | x | | y | [/math] [math]【論理式:\forall x,\forall y \in R, |xy | = | x | | y | 】[/math]
[math]x=2,y=-3のとき[/math]
[math] | 2 . -3 | = | -6|=6 = | 2 ||-3 | =2 . 3=6[/math]

[math]また、x=1+2i,y=2-3iのとき[/math]
[math]|(1+2i)(2-3i) |[/math] = [math]|2-3i+4i+6 |[/math] = [math] | 8+i |[/math] = [math]\sqrt{ 8^{2}+ 1^{2} }[/math] = [math]\sqrt{65}[/math]=
[math]| 1+2i | | 2-3i |[/math] = [math]\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2} } \cdot \sqrt{ 2^{2}+ \big(-3\big) ^{2} }[/math] = [math]\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}[/math] =[math] \sqrt{65} [/math]



[math] | \dfrac{x}{y} |= \dfrac{ | x | }{ | y | } ただしy \neq 0[/math] [math]【論理式:\forall x,\forall y \in R,y \neq 0,  | \dfrac{x}{y} |= \dfrac{ | x | }{ | y | } 】[/math]

【ー例ー】

[math] x=2,y=-3のとき[/math]
[math]| \dfrac{2}{-3} | [/math]= [math]\dfrac{2}{3}[/math] = [math]\dfrac{ | 2 | }{ | -3| }[/math] = [math]\dfrac{2}{3}[/math]

[math]
また、x=1+2i,y=2-3iのとき[/math]
[math]| \dfrac{(1+2i)}{(2-3i) } |[/math] =[math] | \dfrac{ \big(1+2i\big) \big(2+3i\big) }{4+9} |[/math] = [math]| \dfrac{2+3i+4i-6}{13} |[/math] =[math] | \dfrac{-4+7i}{13} |[/math] = [math]\sqrt{ \big( \dfrac{-4}{13} \big) ^{2} + \big( \dfrac{7}{13} \big) ^{2} }[/math] = [math]\sqrt{ \dfrac{65}{ 13^{2} }}[/math] = [math]\sqrt{13\cdot5/ 13^{2} }[/math] = [math]\dfrac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{13} }[/math]
= [math]\dfrac{| 1+2i | }{| 2-3i | }[/math] = [math]\dfrac{ \sqrt{ 1^{2} + 2^{2} } }{ \sqrt{ 2^{2}+ \big(-3 \big) ^{2} } }[/math] = [math]\dfrac{ \sqrt{5} }{13}[/math]

共役な関係(実数・複素数共に成立)

[math]|x \bar{x} |=| – x| = | x |[/math]  [math]【論理式: \forall x \in R, | -x| = |x| 】[/math]

【ー例ー】

[math]x= \pm 2のとき[/math]
[math]| \mp 2 | = 2= | \pm 2 |=2 [/math]

[math]また、x=1+2iのとき[/math]
[math]| \overline{1+2i} |[/math] = [math]| 1-2i |[/math] = [math]\sqrt{ 1^{2} + \big(-2\big)^{2} }[/math]= [math]\sqrt{5}[/math]
= [math]| -1-2i |[/math] = [math]\sqrt{ \big(-1\big) ^{2}+ \big(-2\big) ^{2} } [/math]= [math]\sqrt{5} [/math]
=[math] | 1+2i |[/math] = [math]\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2} }[/math] = [math]\sqrt{5} [/math]



[math] |x \bar{x} | = | x^{2} | = x^{2} [/math]  [math]【論理式: \forall x \in R, | x^{2} | = x^{2} 】[/math]

【ー例ー】

[math]x= \pm 2のとき[/math]
[math]| \pm 2 \cdot \mp 2 | = | -4 | = 4[/math]
[math]=| \pm 2 | ^{2} =4[/math]
[math]= \big( \pm 2\big)^{2} =4[/math]

[math]また、x=1+2iのとき[/math]
[math]| \big(1+2i\big) \big(1-2i\big) |[/math] = [math]|1+4 |[/math] =5
=[math] | 1+2i | ^{2}[/math] = [math]\big( \sqrt{ 1^{2}+ 2^{2} } \big) ^{2}[/math] =5

※(注)複素数のときは更に[math]= \big(1+2i\big) ^{2}[/math] はならない

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