はさみ打ちの原理

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はさみ打ちの原理[math]\lim_{x \rightarrow a} f \big(x\big) = \lim_{x \rightarrow a} g \big(x\big) = \alpha[/math] とする。
[math]x[/math]が[math]a[/math]に近いとき、常に[math]f \big(x\big) \leq h \big(x\big) \leq g \big(x\big)[/math] ならば
[math]\lim_{x \rightarrow a} h \big(x\big) = \alpha[/math]

このことは「xがaに近いとき」を「xの絶対値が十分大きいとき」と読み替えると[math]x \rightarrow \pm \infty[/math] の場合にも成り立つ。

はさみ打ちの原理は読んで分かる通り難しい原理ではないが、問題を解いてみると更に理解が深まるので以下で例題を解いていく。

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例題

①[math]\lim_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{\sin x}{x}[/math]

[math]- 1 \leq \sin x \leq 1[/math]
[math]x > 0[/math]とき
[math]- \dfrac{1 }{x} \leq \dfrac{1 }{x} \sin x \leq \dfrac{1 }{x}[/math]
[math]\lim_{x \rightarrow + \infty } – \dfrac{1}{x} =0[/math] 、[math]\lim_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x} =0[/math]
よって
[math]\dfrac{1 }{x} \sin x[/math]

[math]=0[/math]

② [math]\lim_{x \rightarrow 0} x\cos \dfrac{1}{x}[/math]

[math]x \neq 0[/math]とき
[math]- 1 \leq \cos \dfrac{1}{x} \leq 1[/math]
[math]x > 0[/math]とき
[math]- x \leq x\cos \dfrac{1}{x} \leq x[/math]
[math]\lim_{x \rightarrow 0} \big( – x\big) =0[/math] 、  [math]\lim_{x \rightarrow 0} x=0[/math]
よって
[math]\lim_{x \rightarrow 0} x\cos \dfrac{1}{x}[/math]

[math]=0[/math]

③ [math]\lim_{x \rightarrow – \infty } \dfrac{\cos x}{x}[/math]

[math]- 1 \leq \cos x \leq 1[/math]
[math]x < 0[/math]とき
[math]- \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}[/math]
[math]\lim_{x \rightarrow – \infty } – \dfrac{1}{x} =0[/math] 、  [math]\lim_{x \rightarrow – \infty } \dfrac{1}{x} =0[/math]
よって
[math]\lim_{x\rightarrow – \infty } \dfrac{\cos x}{x}[/math]

[math]=0[/math]
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