極限の練習問題

三角関数指数・対数関数の極限の公式を用いて簡単な練習問題を解いてみましょう。

練習問題

(1) [math]\lim_{x \rightarrow2 \pi } \dfrac{2 \pi -x}{\sin 3x } [/math]
(2) [math]\lim_{x \rightarrow0} \dfrac{\tan \big(\sin x\big) }{x } [/math]
(3) [math]\lim_{x \rightarrow0} \dfrac{x \log \big(1 + x\big) }{1-\cos x } [/math]
(4) [math]\lim_{x \rightarrow0} \big(1 + 3x^2\big)^{\frac{2}{x^{2}}} [/math]
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解答

(1) [math]\lim_{x \rightarrow2 \pi } \dfrac{2 \pi -x}{\sin 3x } [/math]

[math]2 \pi -x=t[/math]とおくと
[math]x=2 \pi -t[/math]
また、[math]x \rightarrow 2 \pi[/math]のとき[math]t \rightarrow 0 [/math]となるので
[math]\lim_{x \rightarrow2 \pi } \dfrac{2 \pi -x}{\sin 3x } [/math]
[math]=\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{t}{\sin 3(2 \pi -t)} [/math]
[math]= \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{t}{\sin \big(6 \pi -3t\big) }[/math]

[math]\sin 6 \pi=2 \pi \times 3 [/math]周

[math]=\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{t}{ – \sin 3t}[/math]
[math]=\lim_{t \rightarrow 0} – \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3t}{\sin 3t}[/math]

[math]3t= \theta[/math] とおくと[math]t \rightarrow 0[/math]とき [math]\theta \rightarrow 0[/math]なので

[math]=\lim_{\theta \rightarrow 0} – \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\theta}{\sin \theta}[/math]

[math] \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} =1 [/math]

[math]= – \dfrac{1}{3} \cdot 1[/math]

[math]= – \dfrac{1}{3} [/math]

(2) [math]\lim_{x \rightarrow0} \dfrac{\tan \big(\sin x\big) }{x } [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin \big(\tan x\big) }{x} [/math]
[math] =\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin \big(\tan x\big) }{\tan x} . \dfrac{\tan x}{x} [/math]
[math]\tan x=t[/math]とおくと[math]x \rightarrow 0[/math]とき[math]t \rightarrow 0[/math]なので
[math]= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x} . \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\sin t}{t}[/math]

[math] \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} =1 [/math] ,[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x} =1[/math]

[math]=1 \cdot 1[/math]

[math]=1[/math]

(3) [math]\lim_{x \rightarrow0} \dfrac{x \log \big(1 + x\big) }{1-\cos x } [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow0} \dfrac{x \log \big(1 + x\big) }{1-\cos x } [/math]
[math]=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ x^{2} }{1-\cos x} \cdot \dfrac{\log \big(1 + x\big) }{x}[/math]
[math]= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{ \frac{1- \cos x }{ x^{2} } } \cdot \dfrac{\log \big(1+x\big) }{x} [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{ x^{2} } = \dfrac{1}{2}[/math],[math]\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\log (1+x)}{x}=1[/math]

[math]= \dfrac{1}{ \frac{1}{2} } \cdot 1[/math]

[math]=2[/math]

(4) [math]\lim_{x \rightarrow0} \big(1 + 3x^2\big)^{\frac{2}{x^{2}}} [/math]

[math]3 x^{2} =t[/math]とおくと
[math] x^{2} = \dfrac{t}{3} [/math]
[math]\dfrac{1}{ x^{2} } = \dfrac{3}{t} [/math]
[math]\dfrac{2}{ x^{2} } = \dfrac{6}{t}[/math] なので
[math]\lim_{x \rightarrow0} \big(1 + 3x^2\big)^{\frac{2}{x^{2}}} [/math]
[math]= \lim_{t \rightarrow 0} \big(1 + t\big) ^{ \dfrac{1}{t} \cdot 6} [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow 0} (1+ x ) ^{ \frac{1}{x} } =e[/math]
[math]=e ^{6}[/math]
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